Hitta lösningar när ekvationer har imaginära delar

Komplexa rötter uppstår när man löser polynomekvationer som inte har reella tallösningar. Dessa rötter involverar den imaginära enheten, i, där i² = -1.

Metoder för att identifiera komplexa rötter

Faktorering: Om ett kvadratiskt uttryck kan faktoriseras, ställ in varje faktor till noll och lös. Detta kan avslöja komplexa rötter.
Kvadratisk formel: För ekvationer i formen ax² + bx + c = 0 ger andragradsformeln (x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a) direkt lösningar.
Polynomial division: Om en rot är känd, dividera polynomet med (x - rot) för att minska dess grad.
Root Finding Algoritms: Numeriska metoder som Newton-Raphson-metoden kan approximera komplexa rötter.

Diskriminanten (b² - 4ac) i kvadratformeln bestämmer rötternas natur:

Om b² - 4ac > 0: Två distinkta verkliga rötter.
Om b² - 4ac = 0: En upprepad riktig rot.
Om b² - 4ac < 0: Två komplexa konjugerade rötter.

Jämförelse av rotegenskaper

Roottyp	Formulär	Förekomst	Konjugera
Riktigt	a + 0i	Polynom som skär x-axeln	Själv
Komplex	a + bi (där b ≠ 0)	Polynom som inte skär x-axeln	a - bi
Komplext konjugat par	a + bi och a - bi	Förekommer alltid tillsammans i polynom med reella koefficienter	Varandra

Komplexa rötter förekommer alltid i konjugerade par när polynomet har reella koefficienter. Det betyder att om a + bi är en rot, så är a - bi också en rot.